Die 3n+1-Vermutung

Die 3n+1-Vermutung oder Collatz-Vermutung (benannt nach dem deutschen Mathematiker Lothar Collatz 1910-1990) ist das gefährlichste Problem der Mathematik. Mathematikstudenten werden gewarnt, keinesfalls ihre Zeit damit zu verschwenden. Es handelt sich um eine einfache Vermutung, die nicht einmal von den weltweit besten Mathematikern bewiesen werden konnte. Paul Erdös (1913-1996), einer der bedeutensten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, erklärte, es sei „absolut hoffnungslos“ das Problem zu lösen, die Mathematik sei dafür einfach noch nicht reif genug.

Bei dem Problem geht es um Zahlenfolgen, die nach einem einfachen Bildungsgesetz konstruiert werden:

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n.
Ist n ungerade, multipliziere mit 3 und addiere 1.
Ist n gerade, teile die Zahl durch 2.
Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

Zum Beispiel ergibt sich mit der Startzahl n = 7 die Folge, wie sie in untenstehendem Diagramm dargestellt ist. Am Ende titt die Folge in einen Zyklus ein, in dem die Zahlen 4, 2, 1 ständig wiederholt werden. Die Vermutung lautet nun: Die Zahlenfolge mündet immer in den Zyklus 4, 2, 1, egal, mit welcher positiven natürlichen Zahl man beginnt. Diese Vermutung konnte man bislang weder beweisen noch widerlegen. Mathematiker haben jede Zahl bis 295.147.905.179.352.852 ausprobiert und immer landete die Kurve im Zyklus 4,2,1.

Interessant ist, jede Zahl erzeugt eine andere Kurve mit vielfach unterschiedlichen Anzahl Schritten und das auf und ab der Kurven sieht vollkommen zufällig aus. Zwischen den Kurven gibt es Schnittpunkte, an denen die Kurven die gleiche Zahl durchlaufen. Eine Möglichkeit, um dies zu visualisieren, ist die Form eines gerichteten Graphen, der zeigt, wie die Zahlen der einzelnen Reihen miteinander verbunden sind. Er sieht aus wie ein Baum oder eine Reihe von Flüssen die alle in einem einzigen Strom münden. Einige Mathamatiker haben den Grafen etwas modifiziert, indem sie den Richtungspfeil bei ungeraden Zahlen mit einem bestimmten Winkel gegen den Uhrzeigersinn und bei geraden Zahlen etwas im Uhrzeigersinn gedreht haben. Dann endet man in einer Struktur, die aussieht wie eine Koralle oder ein Bündel Seegras oder eine wilde Hecke, also einer organisch aussehenden Form.

Oben: Collatz-Graph aus Millionen von Zahlen.

Links: Pins und Faden auf Leichtstoffplatte (26,5 x 100 cm).
Gerichteter Graph über die Verbindung der Zahlen 1-1000 bei der Collatz-Vermutung.