Die Gauß- u. Eisenstein-Primzahlen

Bis zur Mitte des 17. Jahrhunderts hatte sich die Mathematik weitgehend auf die statischen Fragen des Zählens, Messens und der Beschreibung von Formen beschränkt. Dann aber gelangen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander mit der Erfindung der Differenzial- und Integralrechnung der wohl wichtigste Fortschritt in der Geschichte der Mathematik. Denn mit der Einführung der Infinitesimalrechung, wie sie zusammenfassend genannt wurde, gelang die mathematische Handhabung von Bewegungen und Veränderungen. Mit Hilfe dieser Technik begannen die Mathematiker die Bewegungen von Planeten zu studieren, die Fallbewegungen von Körpern auf der Erde, die Mechanismen von Maschinen, die Strömungen von Flüssigkeiten, die Ausdehnung von Gasen, die physikalischen Kräfte, Magnetismus und Elektrizität, das Fliegen, das Wachsen von Planzen und Tieren, die Ausbreitung von Epidemien, die Veränderung von wirtschaftlichen Gewinnen und so weiter.

Und man begann mit mathematischen Methoden die Mathematik selbst zu untersuchen. Dies wiederum führte zur Anerkennung eines Zahlensystems, das auch so etwas scheinbar unmögliches wie negative Quadratwurzeln umfasste. Zwar wußten schon die alten Griechen mit negativen Zahlen umzugehen, aber erst im 18. Jahrhundert wurden negative Zahlen als wirkliche Zahlen anerkannt. Und noch länger dauerte es, bis akzeptiert wurde, dass auch die Wurzel aus einer negativen Zahl eine echte Zahl sein kann. Das Widerstreben gegenüber diesen Zahlen spiegelt sich in dem Terminus imaginäre Zahl wider. Der Umgang mit negativen Quadratwurzeln wurde möglich, indem der schweizer Mathematiker Leonard Euler, die Quadratwurzel aus -1 als Konstante „i“, wie imaginär, definierte (i=√-1). Dann ist die Quadratwurzel aus einer beliebigen negativen Zahl -a einfach i√a, das Produkt der besonderen Zahl i und der Quadratwurzel aus der positiven Zahl a.
Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß entwi-ckelte daraus, das System der komplexen Zahlen der Form a + ib, wobei a und b reelle Zahlen sind. Zusammen mit der Regel, dass i2 = -1 ist, kann man komplexe Zahlen in diesem System nach den üblichen Regeln der Algebra addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Indem man begann, komplexe Zahlen auch auf Funktionen anzuwenden, konnten Zahlentheoretiker neue Zahlenmuster finden, die zu weiterführenden mathematischen Kenntnissen auch im Bereich der natürlichen Zahlen führten (siehe Riemannsche Vermutung zum Verständnis der normalen Primzahlen).

Die hier dargestellten Muster, stellen die Primzahlen in der Menge der komplexen Zahlen dar, die sich von den normalen Primzahlen unterscheiden, wobei die unterschiedlichen Farben, unterschiedlichen Typen von Primzahlen entsprechen, wie z.B. solchen, die in der Form a + bi, zwar einen geraden Anteil an den reellen Komponenten (a oder b) haben, aber als komplexe Zahlen eben nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.