Das Golomb-Lineal

Golomb-Lineale sind nach dem Mathematiker Solomon W. Golomb benannt. Im Gegensatz zu normalen Linealen haben sie keine Markierungen mit einheitlichem Abstand. Das oben abgebildete typische Linieal hat 12 Markierungen mit jeweils einem Abstand von einem Zentimeter. Man kann damit Längen zwischen eins und elf messen.

Ein Golomb-Lineal dagegen z.B. der Länge 6 (siehe oben), hat nur 4 Markierungen (es hat die Ordnung 4), mit dem man trotzdem alle Längen von 1 bis 6 messen kann. Man nennt es daher ein perfektes Golomb-Lineal.

Allerdings gibt es darüber hinaus kein perfektes Golomb-Lineal mehr. Mit einem Golomb-Linieal der Ordnung 5, also mit 5 Markierungen (0,1,4,9,11), kann man nicht alle Längen messen, die 6 ist nicht dabei. Darauf kommt es aber auch gar nicht an. Es sollen nur möglichst viele Abstände zwischen den Markierungen verschiedenen und das Lineal so kurz wie möglich sein. Es wird dann optimal genannt.

Golomb-Lineale finden Anwendung beim Entwurf von Gruppenantennen wie beispielsweise Radioteleskopen. Antennen in [0,1,4,6] Golomb-Anordnung findet man häufig bei Mobilfunkmasten. Auch bei der Anordnung von Feldsensoren in der Kernspintomographie oder bei der Röntgenkristallographie und in der Geodäsie werden die Eigenschaften von Golomb-Maßstäben genutzt.

Bei den Anwendungen ist das Ziel, mit einer Minimalzahl an Elementen (Antennen, Sensoren) eine Maximalzahl an unterschiedlichen Abständen und im Dreidimensionalen eine Maximalzahl an verschiedenen Abstrahl- und Empfangswinkeln zu erreichen. Sind die verwendeten Golomb-Lineale optimal, wird auch noch die Ausdehnung des Messsystems bzw. der Gruppenantenne minimiert, was die Handhabbarkeit verbessert oder einen Einsatz überhaupt erst ermöglicht.

Optimale Golomb-Lineale für eine gegebene Ordnung zu finden ist eine rechenintensive Aufgabe. Mittels verteilten Rechnens wurden bislang optimale Golomb-Lineale bis zur Ordnung 28 bestätigt. Die Suche nach einem optimalen Lineal der Ordnung 29 ist mit Stand 2022 nicht geplant, da der Aufwand zu hoch erscheint.