Die Kochsche Schneeflocke

Die Kochsche Schneeflocke ist benannt nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) und gehört zu den frühesten beschriebenen Fraktalen in der Geschichte der Mathematik. Ein Fraktal ist ein mathematisches oder geometrisches Objekt, das sich in seiner Struktur selbstähnlich auf verschiedenen Maßstabsstufen wiederholt.

Der Konstruktionsvorgang wird am Besten mit dem verwandten Objekt der „Koch-Kurve“ verständlich. Eine Strecke wird in drei gleich lange Teile geteilt. Dann entfernt man das mittlere Drittel und errichtet darüber ein gleichseitiges Dreieck mit der gleichen Seitenlänge wie die Teilstücke. Dieser Vorgang wird für jedes der nunmehr vier Teilstücke wiederholt. (In drei Teile teilen, das mittelere ersetzen, u.s.w.). Mit jedem Schritt nimmt die Länge der Kurve um das 4/3-Fache zu. Nach einigen hundert Iterationen wird eine 2,5 cm lange Ausgangslinie zu einer Kurve anwachsen, die länger ist als der Durchmesser des sichtbaren Universums. Die Kurve kann im Prinzip unendlich lang werden.

Bei der Kochschneeflocke ist ein gleichseitiges Dreick der Ausgangspunkt, wobei mit jeder Seite eben so verfahren wird, wie bei der oben geschilderten Koch-Kurve. Das besondere dabei ist, dass der Umfang der Schneeflocke unendlich lang werden kann, obwohl ihr Flächeninhalt begrenzt bleibt. (8/5-Fache des Ausgangsdreiecks).

Fraktale spielen in der Mathematik und den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle, um komplexe und chaotische Phänomene zu verstehen und zu beschreiben, wie z.B. Küstenlinien, Baumstrukturen, Blutgefäße, Turbulenzen, elektrische Entladungen, Gen-Strukturen oder auch bei der Textur- und Mustereknnung in der Bildverarbeitung.