Penrose-Parkettierung

Die Parkettierung einer Fläche mit Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken nennt man periodisch, weil diese die Fläche in allen Richtungen lückenlos und überlappungsfrei bedecken können.



Diese Muster können sowohl um sich selbst gedreht, als auch in alle Richtungen (links, rechts, oben, unten und diagonal) verschoben werden, ohne dass sie ihr Aussehen verändern (d.h. sie sind rotations- und translationssymmetrisch). Besitzen die Kachelmuster eine Translationssymmetrie werden sie als periodisch bezeichnet.

Jahrzehntelang beschäftigte Mathematiker die Frage, ob mit bestimmten Kacheln auch eine unendliche nicht periodische (aperiodische) Parkettierung ohne Lücken oder Überlappungen möglich wäre, d.h. ohne dass sich das Muster wiederholt. Es ließe sich dann nicht verschieben und hätte keine Translationssymmetrie.

Die Tatsache, dass es möglich ist, die Ebene mit einer aperiodischen Parkettierung zu überdecken, wurde zuerst 1966 von Robert Berger bewiesen, der kurz darauf ein Beispiel mit 20.426 verschiedenen Kacheln veröffentlichte. In der Folge wurden immer kleinere Sätze von Kacheln für eine aperiodische Parkettierung angegeben, bis der Physiker Roger Penrose (Physiknobelpreisträger 2020) im Jahr 1973 die Zahl der Kacheln auf zwei reduzieren konnte.

Es gibt mehrere, verschiedene Versionen der Penrose-Parkettierung: die bekannteste besteht aus einer dicken und einer dünnen Raute, wobei aber die Regel zu beachten ist, dass zwei Rauten nicht zu einem Parallelogramm zusammengelegt werden dürfen. Die Rauten haben die gleiche Kantenlänge aber unterschiedliche Innenwinkel. Dabei stehen ihre jeweilige Flächen und ihre Anzahl in der Pakettierung (Inflationsfaktor) zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts.