Die Quadratur des Quadrats

Eine schwierige Aufgabe, die Mathematiker mindestens einhundert Jahre lang beschäftigte, ist die Zerlegung eines Rechtecks oder eines Quadrats in unterschiedlich große Quadrate.

Das generelle Problem besteht darin, ein Rechteck oder ein Quadrat lückenlos und überlappungsfrei mit kleineren Quadraten zu bedecken (zu parkettieren), deren Seitenlängen unterschiedlich sind und ganzzahlige Werte haben. Auf den ersten Blick scheint dies ein triviales Problem zu sein. Es stellte sich aber heraus, dass es sehr kompliziert ist.

Das erste in Quadrate zerlegte Rechteck präsentierte 1925 der polnische Mathematiker Zbigniew Morón (1904-1971). Er fand heraus, dass ein Rechteck von 33 x 32 in neun Quadrate mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 19 zerlegt werden kann. Jahrelang behaupteten Mathematiker, dass jedoch die Zerlegung eines Quadrats durch Quadrate unmöglich sei.

Genau dies versuchten 1936 die vier Studenten William Thomas Tutte, R. Leonard Brooks, Arthur Harold Stone und Cedric Smith am Trinity College auch zu beweisen. Sie scheiterten mit dem Beweis, stattdessen präsentierten sie schließlich 1940 das erste aus 69 Quadraten zusammengesetzte Quadrat. Brooks konnte danach die Anzahl der quadratischen Kacheln auf 39 reduzieren. Die Seitenlänge des zusammengesetzen Quadrats betrug 4920.

Erst 1962 bewies der niederländische Informatiker und Mathematiker A.W.J. Duivestijn mit Hilfe eines Computers, dass jedes aus Quadraten parkettierte Quadrat aus mindestens 21 Kacheln besteht und 1978 hatte er ein solches Quadrat auch entdeckt und wies nach, dass es das Einzige ist. Seine Seitenlänge beträgt 112.